Pour les articles homonymes, voir Cauchy.
La formule
intégrale de Cauchy est un
point essentiel de l'analyse complexe. Elle exprime le fait que la valeur en un
point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les
valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce
point. Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales
toutes les dérivées d'une fonction holomorphe.
Sommaire
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Soient
§
U un ouvert simplement connexe du plan complexe ℂ,
§
f : U→ℂ une fonction holomorphe sur U,
§
γ un
chemin fermé inclus dans U et
§
z un
point de U n'appartenant pas à ce chemin.
On a alors la formule suivante :
où Indγ(z) désigne
l'indice du
point z par rapport au chemin γ. Cette formule est particulièrement utile dans le cas où γ est
un cercle C orienté positivement, contenant z et inclus dans U. En effet, l'indice de z par rapport à C vaut alors 1, d'où :
Montrons que ceci implique que f est
développable en série entière sur U : soit ,
tel
que
.
Soit , et
le
cercle de centre a et de rayon r orienté positivement paramétré par
.
On a pour tout :
,
ce qui prouve la convergence uniforme sur de
la série de terme général
vers
,
et comme est
continue sur
compact,
donc bornée, on a convergence uniforme de la série
sur
,
ce qui permet d'effectuer une inversion des signes somme et intégrale : on
a ainsi pour tout z dans D(a,r):
avec
et donc f est analytique sur U. On a
supposé dans la démonstration que U était connexe, mais le fait d'être
analytique étant une propriété locale, on peut généraliser l'énoncé précédent
et affirmer que toute fonction
holomorphe sur un ouvert U quelconque est analytique sur U.
On remarque aussi que, en donnant une
expression aux coefficients du développement de f, cette formule explicite les
dérivées n-ièmes de f en a:
.
On définit une fonction g par :
Cette fonction est continue sur U et
holomorphe sur U\{z0}. On peut donc lui
appliquer le théorème intégral de Cauchy :
En remplaçant g(ξ) par sa valeur et en utilisant l'expression
intégrale de l'indice, on obtient le résultat voulu.
Cette formule a de nombreuses
applications, outre le fait de montrer que toute fonction holomorphe est
analytique, et permet notamment de montrer le théorème des résidus.
Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
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