Transformée de Fourier

Joseph Fourier

En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l'expression de la fonction comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences qui forment son spectre. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'intégrale. L'analyse non standard permet de la présenter sous forme d'une série et justifie le point de vue intuitif. Séries et transformation de Fourier constituent les deux outils de base de l'analyse harmonique.

Sommaire

[masquer]

· 1 Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables

o 1.1 Définition

o 1.2 Conventions alternatives

o 1.3 Extension de la transformation de Fourier

o 1.4 Propriétés de la transformation de Fourier

o 1.5 Transformation de Fourier inverse

o 1.6 Extension à l'espace Rⁿ

· 2 Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable

· 3 Lien avec le produit de convolution

· 4 Transformation de Fourier sur l'espace de Schwartz

· 5 Transformation de Fourier pour les distributions tempérées

o 5.1 Compatibilité de la transformation de Fourier sur

§ 5.1.1 Compatibilité avec les espaces de fonctions

§ 5.1.2 Compatibilité avec les espaces de suites

o 5.2 Signaux discrets et signaux périodiques

· 6 Liens avec d'autres transformations

o 6.1 Lien avec les transformations de Laplace

o 6.2 Lien avec les séries de Fourier

§ 6.2.1 Parallèle formel

§ 6.2.2 Transformée

· 7 Note et références

· 8 Voir aussi

o 8.1 Articles connexes

o 8.2 Liens externes

Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables[modifier]

Définition[modifier]

La transformation de Fourier $\mathcal{F}$ est une opération qui transforme une fonction intégrable sur $\R$ en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière. Si $f\$ est une fonction intégrable sur $\R$ , sa transformée de Fourier est la fonction $\mathcal{F}(f)=\hat f$ donnée par la formule :

$\mathcal{F}(f):\xi\mapsto \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, \mathrm{e}^{-i \xi x}\, \mathrm{d}x$

On montre que la transformée de Fourier est un morphisme d'algèbre, de la $\C$ -algèbre de Banach $(L^1,+,\cdot,\ast,||.||_1)$ sur la $\C$ -algèbre normée $(L^\infty,+,\cdot,\times,||.||_\infty)$ . C'est un opérateur injectif dont l'image est un sous-ensemble de $\mathcal{C}^0_0$ dense dans $L^\infty$ . Il est de plus continu et sa norme d'opérateur vaut 1.

Conventions alternatives[modifier]

Il est possible de choisir une définition alternative pour la transformée de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne se manifestent (en général) que par des facteurs numériques. Par exemple, certains scientifiques utilisent ainsi :

$\mathcal{F}(f):\nu \mapsto \hat{f}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm{e}^{-i 2\pi\nu t}\, \mathrm{d}t$

avec t en secondes $\nu$ la fréquence (en s $^{-1}$ ).

Certains électroniciens ou physiciens utilisent (pour des raisons de symétrie avec la transformée de Fourier inverse) la transformée suivante :

$\mathcal{F}(f):\omega\mapsto \hat{f}(\omega) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm{e}^{-i \omega t}\, \mathrm{d}t$

avec t en secondes et $\omega$ la pulsation (en rad.s $^{-1}$ ). Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ , $\mathcal{F}(f*g) \ne \mathcal{F}(f) \cdot \mathcal{F}(g)$ , à moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.

L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables $f\$ d'une variable réelle $x\$ . L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions d'une variable réelle $\xi\$ . Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal, on notera volontiers t à la place de x et $\omega\$ ou $2\pi \nu\$ à la place de $\xi\$ qui seront les variables respectives de temps et de pulsation ou de fréquence. On dira alors que $f\$ est dans le domaine temporel, et que $\hat f$ est dans le domaine fréquentiel.

En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle. Pour ces applications, les physiciens définissent en général la transformée directe avec un facteur $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ et la transformée de Fourier inverse sans aucun préfacteur.

La notation $\mathcal{F}(f)$ peut aussi être remplacée par F(f) ou TF(ƒ). Dans cet article, on utilisera exclusivement la première notation.

Il est également d'usage dans certaines communautés scientifiques de noter $f(\mathbf{x})$ pour la fonction de départ et $f(\mathbf{p})$ pour sa transformée, faisant ainsi correspondre à x, y, zles variables duales p, q, r. Cette notation est conforme à l'interprétation physique inspirée par la mécanique quantique : dualité entre position et moment. Cette notation n'est pas retenue ici.

Extension de la transformation de Fourier[modifier]

Le cadre le plus naturel pour définir les transformées de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformation de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz, et plus particulièrement des distributions tempérées permit de trouver un cadre parfaitement adapté.

On peut généraliser la définition de la transformation de Fourier à plusieurs variables, et même sur d'autres groupes que le groupe additif $\R$ . Ainsi, on peut la définir sur le groupe additif $\R/\Z$ , c'est-à-dire sur les fonctions de période 1 — on retrouve ainsi les séries de Fourier — sur des groupes localement compacts, pas nécessairement commutatifs, et en particulier sur des groupes finis. Ces définitions font intervenir les groupes duals.

Propriétés de la transformation de Fourier[modifier]

	Fonction	Transformée de Fourier
Linéarité	$a \cdot g_1(x) + b \cdot g_2(x)\$	$a \cdot \hat g_1(\xi) + b \cdot \hat g_2(\xi)\$
Contraction du domaine	$f(a \cdot x) \$	$\frac{1}{\|a\|} \cdot \hat{f}(\xi/a)\$
Translation temporelle	$g(x+x_0)\$	$\hat g(\xi) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \xi x_0}\$
Modulation dans le domaine temporel	$g(x) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} x \xi_0}$	$\hat{g}(\xi-\xi_0)$
Produit de convolution	$f \star g(x)\$	$\hat f(\xi) \cdot \hat g(\xi)\$
Produit de corrélation	$f$ × $g(x)$	$\hat f(\xi) \star \hat g(\xi)\$
Dérivation	$g'(x)\$ (voir conditions ci-dessous)	$i \xi \cdot \hat{g}(\xi)$
Symétrie	réelle et paire	réelle et paire
	réelle et impaire	imaginaire pure et impaire
	imaginaire pure et paire	imaginaire pure et paire
	imaginaire pure et impaire	réelle et impaire
	gaussienne	gaussienne

§ La contraction dans un domaine (temporel, spatial ou fréquentiel) implique une dilatation dans l'autre. Un exemple concret de ce phénomène peut être observé par exemple sur un gramophone. La lecture d'un 33 tours à 45 tours par minute implique une augmentation de la fréquence du signal audio (a<1), on contracte le signal audio dans le domaine temporel ce qui le dilate dans le domaine fréquentiel.

§ Si la fonction $f$ est à support borné ( i.e, si $\exists x_0 \in \R, \forall |x| > x_0, f(x) = 0$ ) alors $\hat{f}$ est à support infini. Inversement, si le support spectral de la fonction $\hat{f}$ est borné alors $f$ est à support infini.

§ Si f est une fonction non-nulle sur un intervalle borné alors $\hat{f}$ est une fonction non-nulle sur $\C$ et inversement, si $\hat{f}$ est non nulle sur un intervalle borné alors f est une fonction non nulle sur $\C$ .

§ La transformée de Fourier de f est une fonction continue, de limite nulle à l'infini (théorème de Riemann-Lebesgue), notamment bornée par

$\|\hat{f}\|_\infty\leq \|f\|_1$

§ Par changement de variable on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation du graphe de f.

§ Supposons que la fonction $g:x\mapsto -\mathrm{i}xf(x)$ soit intégrable ; alors on peut dériver la formule de définition sous le signe d'intégration. On constate alors que la dérivée $\hat{f}'$ est la transformée de Fourier de g.

§ Si f est localement absolument continue (i.e. dérivable presque partout et égale à « l'intégrale de sa dérivée » ) et si f et f' sont intégrables, alors¹ la transformée de Fourier de la dérivée de f est $\widehat{f'}(\xi)=\mathrm{i}\xi \hat{f}(\xi)$ .

On peut résumer les deux dernières propriétés : notons D l'opération

$Df=\frac{1}{\mathrm{i}} f',$

et M la multiplication par l'argument :

$(Mf)(x)=xf(x), \quad (M\hat f)(\xi)=\xi \hat f(\xi).$

Alors, si f satisfait des conditions fonctionnelles convenables, $\widehat{Df}= + M\hat f$ et $\widehat{Mf}= - D\hat f$ . Ces formules symétriques sont très belles, et aussi très importantes.

On s'affranchira de ces conditions fonctionnelles en élargissant la classe des objets sur lesquelles opère la transformation de Fourier. C'est une des motivations de la définition des distributions.

Transformation de Fourier inverse[modifier]

Si la transformée de Fourier de $f\,$ , notée $\hat f$ , est elle-même une fonction intégrable, la formule dite de transformation de Fourier inverse, opération notée $\mathcal{F}^{-1}$ , et appliquée à $\hat f$ , permet (sous conditions appropriées) de retrouver $f\,$ à partir des données fréquentielles :

$f(x)=\mathcal{F}^{-1}(\hat f(\xi)) = {1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\xi)\,\mathrm{e}^{+i\xi x}\, \mathrm{d}\xi = f(x) \qquad\Leftrightarrow\qquad \hat f(\xi)\ = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, \mathrm{e}^{-i \xi x}\, \mathrm{d}x$

Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient multiplicatif et le $-i\,$ devenu $i\,$ .

Dans le cas des définitions alternatives, la transformée de Fourier inverse devient:

Définition en fréquence: $f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\nu)\, \mathrm{e}^{+i 2\pi\nu t}\, \mathrm{d}\nu\qquad\Leftrightarrow\qquad\hat{f}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm{e}^{-i 2\pi\nu t}\, \mathrm{d}t$

Définition en pulsation: $f(t) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\omega)\, \mathrm{e}^{+i \omega t}\, \mathrm{d}\omega \quad \Leftrightarrow\quad \hat f(\omega)\ = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm{e}^{-i \omega t}\, \mathrm{d}t$

[afficher]

Preuve par la formule sommatoire de Poisson

[afficher]

Preuve par l'analyse non standard

Extension à l'espace Rⁿ[modifier]

Notons x∙ξ le produit scalaire canonique dans ℝⁿ :

$x\cdot \xi=\sum_{j=1}^n x_j\xi_j.$

Si f est une fonction intégrable sur ℝⁿ, sa transformée de Fourier est donnée par la formule :

$\hat f(\xi)=\int_{\R^n}f(x)~e^{-ix\cdot\xi}~\mathrm dx.$

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable, on a alors la formule d'inversion :

$f(x)=\frac1{(2\pi)^n}\int_{\R^n}\hat f(\xi)~e^{ix\cdot\xi}~\mathrm d\xi.$

Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable[modifier]

Le théorème de Plancherel permet d'étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable sur $\R$ .

On commence par un premier résultat.

Lemme — Soit h une fonction complexe deux fois continûment dérivable sur $\R$ , qui vérifie l'estimation

$\forall x\in \R, \quad|h(x)|\le C/(1+x^2)$ (où C est une constante),

et dont les deux premières dérivées sont intégrables. Ceci implique que la transformée de Fourier $\hat h$ est bien définie et de carré intégrable. De plus, on a l'identité:

$\int_\R |h(x)|^2\, dx=\frac{1}{2\pi}\int_\R|\hat h(\xi)|^2\, d\xi.$

[afficher]

Preuve par la formule sommatoire de Poisson

Une fois démontrée dans le lemme ci-dessus la formule de Plancherel pour une classe de fonctions suffisamment régulières, on étend par densité la transformation de Fourier à tout $L^2(\R)$ .

[afficher]

Extension de la transformation de Fourier par densité

On a ainsi le théorème de Plancherel :

Théorème de Plancherel — Soit f une fonction complexe sur $\R$ et de carré sommable. Alors la transformée de Fourier de f peut être définie comme suit: pour tout p entier, on pose

$f_p(x)=(f 1_{[-p,p]})(x)=\begin{cases}f(x) &\text{si } |x|\le p,\\0&\text{sinon}.\end{cases}$

La suite des transformées de Fourier $\hat f_p$ converge dans $L^2(\R)$ , et sa limite est la transformée de Fourier $\hat f$ , c'est-à-dire

$\lim_{p\to\infty}\int_\R|\hat f(\xi)-\hat f_p(\xi)|^2\, d\xi=0.$

De plus on a l'identité:

$\int_\R|f(x)|^2\, dx =\frac{1}{2\pi}\int_\R |\hat f(\xi)|^2 d\xi.$

De façon similaire, si on pose $g_p(x)=\int_{-p}^p \hat f(\xi)e^{2\mathrm{i}\pi x\xi}\, d\xi,$ les $g_p$ convergent en moyenne quadratique vers $f$

[afficher]

Démonstration du théorème de Plancherel

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L², qui est une isométrie, à condition de faire un changement d'échelle:

$\|\hat{f}/\sqrt {2\pi}\|_2 = \|f\sqrt {2\pi}\|_2.$

En physique, on interprète le terme $|\hat{f}(\xi)|^2$ figurant sous l'intégrale comme une densité spectrale de puissance.

La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. Sur l'intersection $L^1(\R)\cap L^2(\R)$ des domaines de définition, on montre à l'aide du théorème de convergence dominée de Lebesgue que les deux définitions coïncident.

Lien avec le produit de convolution[modifier]

La transformation de Fourier a des propriétés très intéressantes liées au produit de convolution. On rappelle que d'après les inégalités de Young,

§ Si $f,g \in L^1(\R^N)$ , alors $f*g \in L^1(\R^N)$ et $\|f*g\|_{L^1} \le \|f\|_{L^1} \cdot \|g\|_{L^1}$

§ Si $f \in L^1(\R^N)$ et $g \in L^2(\R^N)$ , alors $f*g \in L^2(\R^N)$ et $\|f*g\|_{L^2} \le \|f\|_{L^1} \cdot \|g\|_{L^2}$

§ Si $f,g \in L^2(\R^N)$ , alors $f*g \in L^\infty(\R^N)$ et $\|f*g\|_{L^\infty} \le \|f\|_{L^2} \cdot \|g\|_{L^2}$

Ainsi

§ Si $f,g \in L^1(\mathbb{R}^N)$ , alors $\mathcal {F}(f*g) = \mathcal{F}(f)\,.\,\mathcal{F}(g)$

§ Par densité, cette égalité tient encore si $f \in L^1$ et $g \in L^2$ .

§ Si $f,g \in L^2(\mathbb{R}^N)$ , alors $f\ast g = \mathcal {F}^{-1}[\mathcal{F}(f)\,.\,\mathcal{F}(g)]$ (l'égalité précédente n'étant de plus vraie qu'à la condition $f*g \in L^1$ )

Transformation de Fourier sur l'espace de Schwartz[modifier]

L'espace de Schwartz $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ est l'espace des fonctions $f$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^n$ , telles que $f$ et toutes ses dérivées soient à décroissance rapide. C'est un sous-espace vectoriel de $L^1$ , donc pour lequel la transformée de Fourier est définie. L'intérêt de la classe de Schwartz résulte de la propriété d'échange entre régularité et décroissance à l'infinie qu'opère la transformée de Fourier.

§ Toute fonction de Schwartz est de classe $\mathcal{C}^\infty$ avec des dérivées toutes intégrables. On en déduit que sa transformée de Fourier est à décroissance rapide.

§ Toute fonction de Schwartz est à décroissance rapide. On en déduit que sa transformée de Fourier est de classe $\mathcal{C}^\infty$ .

Ainsi, on visualise intuitivement pourquoi l'espace de Schwartz est invariant par transformation de Fourier. Cet espace est donc très commode pour l'utilisation de cette dernière. De plus, l'espace de Schwartz est dense dans $L^1$ et dans $L^2$ , et pourrait donc servir de base pour la définition de la transformation de Fourier sur ces espaces.

Formule d'inversion de Fourier sur $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ — La transformée de Fourier induit un automorphisme bicontinu de l'espace de Schwartz sur lui-même, dont l'inverse est défini par

$\mathcal{F}^{-1} (\phi) = x \mapsto \int_{\mathbb{R}^n} \phi(\xi)\, \mathrm{e}^{2 i \pi x \cdot \xi}\, \mathrm{d}\xi = \mathcal{F}(\phi \circ (-Id))$

Remarque : cette formule dépend de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elle est valide pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise $e^{-i 2 \pi \xi \cdot x}$ .

[afficher]

Démonstration de la formule d'inversion

Transformation de Fourier pour les distributions tempérées[modifier]

On définit la transformée de Fourier d'une distribution tempérée $T \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ comme la distribution définie via son crochet de dualité par

$\forall \phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n),\quad \langle \mathcal{F}T, \phi \rangle = \langle T, \mathcal{F} \phi \rangle$

Les détails et des exemples ne sont pas donnés ici, mais figurent dans l'article relatif aux distributions tempérées.

Remarquons que l'expression de la transformée de Fourier d'une fonction $f$ ressemble au produit scalaire dans $L^2 (\mathbb{C}), (f, g)_{L^2} := \int f \bar{g}$ entre $f$ et la conjuguée de $e_{2 \pi \xi} : x \mapsto e^{i 2 \pi \xi \cdot x}$ . Sauf que $(f, e_{2 \pi \xi})_{L^2}$ n'a pas de sens car $e_{2 \pi \xi}$ n'est pas dans $L^2$ . C'est le crochet de dualité des distributions $\langle T_f, e_{2 \pi \xi} \rangle$ , qui pour les fonctions coïncident avec le produit scalaire de $L^2$ , donne sens à cette formulation en tant que produit scalaire.

Cette généralisation va bien plus loin car l'espace des distributions tempérées $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ englobe les différents objets sur lesquels la transformée de Fourier a été définie : fonctions de $\mathbb{R}^n$ sommables ou de carré sommable, fonctions de $\mathbb{R}^n$ périodiques localement sommables ou localement de carré sommable, suites discrètes sommables, suites discrètes périodiques. La transformée de Fourier sur $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ unifie et généralise les différentes définitions des transformées avec l'unique formalisme des distributions. Nous allons montrer que la transformée de Fourier sur $\mathcal{S}'$ généralise les notions d'intégrales de Fourier et de séries de Fourier, en analysant successivement ces espaces.

Compatibilité de la transformation de Fourier sur $\mathcal{S}'$ [modifier]

Compatibilité avec les espaces de fonctions[modifier]

Les fonctions intégrables définissent des distributions tempérées. Montrons que les deux notions possibles de transformée de Fourier coïncident.

compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $L^1$ — Soit $f \in L^1 (\mathbb{R}^n)$ et $\hat{f}$ sa transformée de Fourier dans $L^1$ . Alors $\hat{f}$ définie une distribution tempérée égale à la transformée de fourier de $T_f$ , c'est-à-dire

$\mathcal{F} T_f = T_\hat{f}$

[afficher]

Démonstration de la compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $L^1$

Les fonctions de carré sommable définissent aussi des distributions tempérées. Utilisons la compatibilité précédente pour l'établir sur cet autre espace.

Compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $L^2$ — Soit $f \in L^2 (\mathbb{R}^n)$ et $\hat{f}$ sa transformée de Fourier dans $L^2$ . Alors $\hat{f}$ définie une distribution tempérée égale à la transformée de fourier de $T_f$ , c'est-à-dire

$\mathcal{F} T_f = T_\hat{f}$

Nous passons pour démontrer ce résultat par l'espace de Schwartz, qui présente l'avantage d'être un sous-espace vectoriel de $L^1 \cap L^2$ dense dans $L^2$ .

[afficher]

Démonstration de la compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $L^2$

Enfin, les fonctions périodiques intégrables sur une période sont exactement les fonctions à la fois périodiques et localement intégrables, et donc définissent des distributions régulières.

Compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $L^1_{\mathrm{per}}$ — La transformée de Fourier d'une distribution régulière $T_f$ définie par une fonction T-périodique $f \in L^1 ([0, T[)$ , est la distribution à support discret correspondant à la suite de ses coefficients de Fourier :

$\mathcal{F} T_f = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n (f) . \delta_n$ avec $\quad c_n (f) = \int_0^T f(x) e^{-i \frac{2 \pi}{T} n x}\, \mathrm{d}x$

Si le résultat énoncé ne concerne que les fonctions périodiques de la variable réelle, même si le résultat s'étendrait facilement aux fonctions périodiques sur un réseau de $\mathbb{R}^N$ . Comme la transformée de Fourier est bijective, la démonstration de ce résultat sera une conséquence du théorème sur les distributions périodiques.

Compatibilité avec les espaces de suites[modifier]

Les suites, c'est-à-dire les signaux discrets, peuvent s'exprimer comme fonction de $\mathbb{R}$ à support dans $\mathbb{Z}$ . À une suite donnée $a := (a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ correspond en effet de manière unique une série de masses de Dirac $T_a := \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k \delta_k$ . Lorsque cette suite est sommable, cette série de masses de Dirac a en effet un sens en tant que distribution tempérée d'ordre 0.

Compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $l^1$ — Soit une suite sommable à valeurs complexes notée $a := (a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ . Sa transformée de Fourier à temps discret est une fonction 1-périodique qui coïncide avec la transformée de Fourier de la série de masses de Dirac associée à a.

$\mathbf{TFTD}[(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}] = \mathcal{F} \left( \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k \delta_k \right)$

[afficher]

démonstration de la compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $l^1$

Par densité, la démonstration s'étend aux séries de carré sommable. Notons en outre que la transformée de Fourier des distributions périodiques donne une définition de la transformée de Fourier à suite discrètes non pas sommables, au moins à croissance polynômiale.

En particulier, la transformée de Fourier discrète (TFD) s'interprète également comme la transformée d'une distribution tempérée. En effet, une suite finie de N points $\lbrace x_k \rbrace_{k=0}^{N-1}$ s'identifie de manière unique avec une suite N-périodique obtenue par périodisation, c'est-à-dire convolution avec un peigne de Dirac.

compatibilité de $\mathcal{F}$ avec la TFD — La TFD d'une suite $x(.)$ à l'ordre N est la transformée de Fourier de la distribution à support dans $\mathbb{Z}$ obtenue par périodisation de $x(.)$ à la période N, c'est-à-dire convolution par un peigne de Dirac $W_N$ :

$\mathbf{TFD}_N[x(.)] (k) = \mathcal{F} [\tilde{x}(.)] (k)$ avec $\tilde{x} = W_N \ast \left( \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \delta_n \right)$

Signaux discrets et signaux périodiques[modifier]

Nous pouvons retenir que formellement, la transformée de Fourier échange discrétisation et périodisation.

§ Le spectre d'un signal discret $x[.]$ obtenu par échantillonnage à la période T présente un spectre périodique, résultant de la périodisation du spectre du signal continu: $\mathbf{TFTD}(x[.]) = \mathcal{F}(x(.)) \ast W_{\frac{2\pi}{T}}$ . Si la multiplication n'est pas définie entre distribution, on donne dans le cas du peigne un sens à $x[.] = x(.) \cdot W_T$ , et la formulation de convolution est encore vérifiée : $\mathcal{F}(x(.) \cdot W_T) = \mathcal{F}(x(.)) \ast \mathcal{F}(W_T)$ .

§ Le spectre d'un signal T-périodique $x_T (.)$ , c'est-à-dire la somme de sa série de Fourier, est celui obtenu par discrétisation du spectre du signal tronqué sur une seule période.

$\mathcal{F}(x_T (.)) = \mathcal{F}(x(.)) \cdot W_T \quad \text{ avec } \quad x = x_T . 1_{[0,T]}$

Liens avec d'autres transformations[modifier]

Lien avec les transformations de Laplace[modifier]

La transformée de Fourier d'une fonction $f\$ est un cas particulier de la transformée bilatérale de Laplace de cette même fonction définie par : $\mathcal{L}_{bil}\{f\} (p) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-pt} dt$ avec $p \in \C$

On constate alors que $\mathcal{F}\{f\} (\xi) = \mathcal{L}_{bil}\{f\} (i\xi)$ .

On peut également écrire ce lien en utilisant la transformée de Laplace "usuelle" par :

$\mathcal{F}\{f\}(\xi) = \mathcal{L}\{f^+\}(+i\xi) + \mathcal{L}\{f^-\}(-i\xi)$

où les fonctions $f^+\$ et $f^-\$ sont définies par :

$f^+(t) = f(+t)\$ si t ≥ 0 et 0 sinon.

$f^-(t) = f(-t)\$ si t ≥ 0 et 0 sinon.

Lien avec les séries de Fourier[modifier]

Parallèle formel[modifier]

La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration x est remplacée par nΔx, n étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme. On a alors

$\hat f(k)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty f(n)e^{-i2\pi kn\Delta t}$ .

On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale.

Transformée[modifier]

On utilise les variables normalisées suivantes : $F={f \over f_e}=f \Delta t = f|_{\Delta t=1}$ , $\Omega =e\pi F=2\pi f\Delta t=\omega\delta t|_{\Delta t=1}$

Transformation de Fourier (analyse)	Transformation inverse (synthèse)
$X(f)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i2\pi fn\Delta t}$	$x(n)=\int_{f_e} X(f)e^{i2\pi fn\Delta t}df$
$X(w)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i\omega n\Delta t}$	$x(n)={1 \over 2\pi} \int_{\omega_2=2\pi f_e}X(w)e^{iwn\Delta t}dw$
$X(F)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i2\pi nF}$	$x(n)=\int_1 X(f)e^{i2\pi nF}dF\,\!$
$X(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-in\Omega}$	$x(n)={1 \over 2\pi}\int_{2\pi} X(\Omega)e^{in\Omega}d\Omega$